[백준] 1520번 내리막 길 : Cpp

백준 1520번 문제입니다.

문제

여행을 떠난 세준이는 지도를 하나 구하였다. 이 지도는 아래 그림과 같이 직사각형 모양이며 여러 칸으로 나뉘어져 있다. 한 칸은 한 지점을 나타내는데 각 칸에는 그 지점의 높이가 쓰여 있으며, 각 지점 사이의 이동은 지도에서 상하좌우 이웃한 곳끼리만 가능하다.

현재 제일 왼쪽 위 칸이 나타내는 지점에 있는 세준이는 제일 오른쪽 아래 칸이 나타내는 지점으로 가려고 한다. 그런데 가능한 힘을 적게 들이고 싶어 항상 높이가 더 낮은 지점으로만 이동하여 목표 지점까지 가고자 한다. 위와 같은 지도에서는 다음과 같은 세 가지 경로가 가능하다.

지도가 주어질 때 이와 같이 제일 왼쪽 위 지점에서 출발하여 제일 오른쪽 아래 지점까지 항상 내리막길로만 이동하는 경로의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에는 지도의 세로의 크기 M과 가로의 크기 N이 빈칸을 사이에 두고 주어진다. 이어 다음 M개 줄에 걸쳐 한 줄에 N개씩 위에서부터 차례로 각 지점의 높이가 빈 칸을 사이에 두고 주어진다. M과 N은 각각 500이하의 자연수이고, 각 지점의 높이는 10000이하의 자연수이다.

출력

첫째 줄에 이동 가능한 경로의 수 H를 출력한다. 모든 입력에 대하여 H는 10억 이하의 음이 아닌 정수이다.

알고리즘 아이디어

이 문제는 동적 계획법(DP) + BFS 을 사용하여 해결할 수 있다.

1) DP 배열 정의

• dp[i][j]: (i, j) 지점에서 도착점 (M-1, N-1)까지 이동할 수 있는 경로의 개수를 저장한다.
• 초기화
  • dp[0][0] = 1 (출발점이므로 경로의 개수는 1)
  • 나머지는 0으로 초기화

2) 점화식 (Transition) 가능한 경로일 때 :

• 현재 위치 (x, y)에서 이동 가능한 모든 방향 (nx, ny)을 확인하고, 높이가 낮은 칸으로 이동할 수 있다면 아래 식을 적용한다.

dp[nx][ny] += dp[x][y]

• 즉, (x, y)에서 이동 가능한 모든 칸 (nx, ny)에 대해 현 위치까지 도달한 경로 개수를 다음 위치에 누적한다.

3) BFS

• 일반적인 BFS는 최단 경로를 찾을 때 사용하지만, 이 문제에서는 높이가 높은 곳에서 낮은 곳으로만 이동해야 하므로 높은 지점부터 탐색하는 우선순위 BFS가 필요하다.
• 우선순위 큐(Priority Queue, Max Heap) 를 사용하여 높이가 높은 칸부터 방문한다.
• 방문할 때마다 이전 경로 개수를 다음 칸에 누적한다.

코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;
struct edge {
    int level, x, y;
    bool operator<(const edge& other) const {
        return level < other.level;
    }
};

int dx[4] = {0, 0, 1, -1};
int dy[4] = {1, -1, 0, 0};

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> graph(n, vector<int> (m, 0));
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int> (m, 0));
    vector<vector<bool>> visited(n, vector<bool> (m, false));

    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < m; j++) {
            cin >> graph[i][j];
        }
    }

    priority_queue<edge> q;
    q.push({graph[0][0], 0, 0});
    dp[0][0] = 1;
    while(!q.empty()) {
        int x = q.top().x;
        int y = q.top().y;
        int h = q.top().level;
        q.pop();
        visited[x][y] = true;
        int path = dp[x][y];
        if(x  == n - 1 && y == m - 1) {
            continue;
        }
        for(int i = 0; i < 4; i++) {
            int nx = dx[i] + x;
            int ny = dy[i] + y;
            if(nx >= 0 && ny >= 0 && nx < n && ny < m && graph[nx][ny] < h) {
                if (dp[nx][ny] == 0) {
                    q.push({graph[nx][ny], nx, ny});
                }
                dp[nx][ny] += dp[x][y];
            }
        }
    }
    cout << dp[n - 1][m - 1] << endl;
    return 0;
}

혹시라도 틀린 내용이 있다면 댓글로 알려주시면 감사하겠습니다!!